作者SK Electronics摘要本文采用SIMPLIS验证CCM BUCK变换器的控制—输出小信号模型。通过对比考虑和不考虑电容ESR时的仿真与理论波特图验证了传递函数的正确性并分析了LC共轭极点和ESR零点对系统频率特性的影响为后续闭环控制器设计提供理论基础。1. 引言上一期第三期中BUCK变换器的小信号模型已经完成推导但是还需要通过仿真验证其正确性。具体而言可以分别获得控制—输出传递函数的仿真波特图和理论波特图通过比较两者的幅频和相频曲线判断所建立的小信号模型是否准确。一旦小信号模型验证完成后即可根据系统性能要求开展闭环控制器设计。如第二期所述SIMPLIS具有周期工作点POP和交流小信号分析功能适合用于开关电源小信号模型及波特图的验证。因此本期采用第一期设计得到的电路参数首先在SIMPLIS中搭建BUCK变换器仿真模型获得控制—输出频率响应的仿真波特图然后根据上一期推导的控制—输出传递函数绘制理论波特图最后对比两组曲线验证小信号模型及传递函数的正确性。2. SIMPLIS仿真搭建根据第一期的设计案例电路参数表1为仿真模型的所有参数其中参数标号对应图1器件标号。在考虑ESR时候仿真中ESR电阻R2设置为100mΩ而不考虑ESR时把R2删除掉即可。表1 仿真模型参数参数数值参数数值输入电压V120V负载电阻R11Ω电感L116.67μH电容C137.49μF电容ESR R2100mΩ锯齿波V4频率100kHz、幅值0~1V直流偏置V20.5V交流小信号源V3幅值1V (小信号分析时系统自动默认无限小)相位0°比较器U1输出0-12V受控电压源E1增益为1开关管尽可能设置成理想的二极管尽可能设置成理想的图1 BUCK变换器的SIMPLIS仿真模型需要注意的是仿真小信号分析时POP trigger是必须要添加用于判断仿真进入稳态条件。一般连接在栅极端设置结果如图2所示。图2 POP trigger设置结果为获取控制—输出传递函数的波特图bode plot probe也是必须要添加的一般输入端连接到交流小信号源输出连接到输出电压。其设置结果如图3所示一般不需要修改参数默认即可。图3 bode plot probe设置结果最后设置仿真器按快捷键F8。设置仿真器参数如图4所示需要选择AC analysis表示交流小信号分析。AC选项栏可以设置初始频率和结束频率一般结束频率在开关信号的2倍即可也就是为200kHz。周期工作点periodic operating point选项栏设置如图5所示一般最大周期maximum period设置为开关周期的5倍即可即50μs。图4 仿真器的AC选项栏设置结果图5 仿真器的periodic operating point选项栏设置结果至此BUCK变换器的SIMPLIS仿真模型已搭建完成后面进行波特图分析。3. 波特图分析3.1. 不考虑电容ESR情况上期推导了BUCK变换器的控制—输出传递函数在ESR为0的情况下表示为Gvd(s)v^o(s)d^(s)VinLCs2LRs1(1) \small G_{vd}(s) \frac{\widehat{v}_o(s)}{\widehat{d}(s)} \frac{V_{in}}{LCs^2\dfrac{L}{R}s1} \tag{1}Gvd​(s)d(s)vo​(s)​LCs2RL​s1Vin​​(1)如图6所示可以看到SIMPLIS仿真值和理论值波特图几乎一致验证了该情况下所推导小信号模型的正确性。观察式1传递函数仅有一对共轭极点极点推导过程如下所示LCs2LRs10⇓ 两边同时除以 LCs21RCs1LC0⇓p1,2−12RC±j1LC−14R2C2(2) \small \begin{aligned} LCs^2\frac{L}{R}s10 \\[3pt] \quad\Downarrow\ \text{两边同时除以 }LC \\[3pt] s^2\frac{1}{RC}s\frac{1}{LC}0 \\[3pt] \quad\Downarrow \\[3pt] p_{1,2}-\frac{1}{2RC} \pm j\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{1}{4R^2C^2}} \end{aligned} \tag{2}​LCs2RL​s10⇓两边同时除以LCs2RC1​sLC1​0⇓p1,2​−2RC1​±jLC1​−4R2C21​​​(2)将R,L,C参数值代入2可得共轭极点分别为p1,2−13336.89±j37712.52。由于两个极点的实部均为负数因此都位于复平面的左半平面说明理想BUCK功率级本身是稳定的。其中极点实部决定振荡的衰减速度虚部决定阻尼振荡频率。例如当占空比、输入电压或负载发生突变时输出电压会围绕新的稳态值产生衰减振荡。其主要原因是当输入电压、占空比或负载发生突变时BUCK变换器原有的能量平衡被打破电感L与电容C之间会发生能量交换从而产生衰减振荡。其振荡频率和衰减速度恰好由系统共轭复极点的虚部和实部分别决定。因此可以知道二阶系统中电感L与电容C本身可以构成一个LC滤波器LC滤波器的作用是抑制变换器的高频分量如高频电感电流、电容电压。其中由式1分母可知LC滤波器的固有频率可以推导为s21RCs1LC⇓ 与标准二阶系统分母比较s22ζω0sω02⇓ 对应可得ω01LC,f012πLC(3) \small \begin{aligned} s^2\frac{1}{RC}s\frac{1}{LC} \\[3pt] \quad\Downarrow\ \text{与标准二阶系统分母比较} \\[3pt] s^22\zeta\omega_0s\omega_0^2 \\[3pt] \quad\Downarrow\ \text{对应可得} \\[3pt] \omega_0\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \end{aligned} \tag{3}​s2RC1​sLC1​⇓与标准二阶系统分母比较s22ζω0​sω02​⇓对应可得ω0​LC​1​,f0​2πLC​1​​(3)在波特图分析中其LC固有频率又称为转折频率是指系统的幅频特性开始由低频平坦段向高频衰减段过渡的特征频率。由图6可以看出由于系统阻尼较小幅频曲线在f**0附近存在谐振特性表现出增益谐振峰而当频率高于f**0后增益逐渐下降其高频渐近斜率最终趋近于 -40dB/dec。这表明LC滤波器能够有效衰减高频信号。图6 不考虑ESR的理论和仿真波特图对比分析此外由图6可以看出随着频率升高幅值增益下降至0dB时对应频率约为29.01kHz该频率称为增益穿越频率。在穿越频率处读取系统相位为-171°可以进一步计算相位裕度PM180∘φ(fc)180∘−171∘9∘(4) \small PM180^\circ\varphi(f_c) 180^\circ-171^\circ 9^\circ \tag{4}PM180∘φ(fc​)180∘−171∘9∘(4)计算相位裕度的意义在于判断系统是否保持稳定有以下结论φ(f**c)-180°PM0通常稳定φ(f**c)-180°PM0临界稳定φ(f**c)-180°PM0通常不稳定。相位裕度小于0意味着当环路相位达到-180°环路增益仍大于1。此时负反馈在该频率附近等效为正反馈扰动信号绕环路一周后不仅无法被抑制反而会被进一步放大从而导致闭环系统产生发散振荡并失稳。由此可知在后续闭环系统设计中可以结合开环传递函数的波特图曲线来进行控制参数设计。比如如何设计控制器参数使得相位裕度增大以提高系统可靠性。3.2. 考虑电容ESR情况上期推导的BUCK变换器的控制—输出传递函数在ESR不为0的情况下表示为Gvd(s)v^o(s)d^(s)Vin(1rCCs)LC(1rCR)s2(LRrCC)s1(5) \scriptsize \begin{aligned} G_{vd}(s) \frac{\widehat{v}_o(s)}{\widehat{d}(s)} \\ \frac{V_{in}(1r_CCs)} {LC\left(1\dfrac{r_C}{R}\right)s^2 \left(\dfrac{L}{R}r_CC\right)s1} \end{aligned} \tag{5}Gvd​(s)​d(s)vo​(s)​LC(1RrC​​)s2(RL​rC​C)s1Vin​(1rC​Cs)​​(5)如图7所示在该情况下仍然可以看到SIMPLIS仿真值和理论值波特图几乎一致也验证了该情况下所推导小信号模型的正确性。图7 考虑ESR的理论和仿真波特图对比分析观察式5传递函数有一对共轭极点和一个电容ESR零点。与式2推导过程类似可得共轭极点分别为p1,2−14851.17±j35129.55。而ESR零点由式5分子等于零得到即1rCCs0⇓s−1rCC⇓zESR−1rCCj0(6) \small \begin{aligned} 1r_CCs0 \\ \Downarrow \\ s-\frac{1}{r_CC} \\ \Downarrow \\ z_{ESR}-\frac{1}{r_CC}j0 \end{aligned} \tag{6}1rC​CsszESR​​0⇓−rC​C1​⇓−rC​C1​j0​(6)将rC0.1Ω和C37.49μF代入6可得电容ESR零点为ZESR−266737.80j0。因此此时BUCK变换器的极点和零点均位于复平面的左半平面说明此时系统也是稳定的。此外从图7还可以发现ESR零点改变了BUCK变换器的高频幅值和相位特性。加入ESR零点后高频斜率从原先-40dB/dec逐渐转变为-20dB/dec削弱电容对高频信号的衰减能力。与此同时ESR零点提供相位超前部分抵消了LC共轭极点产生的相位滞后部分抵消LC双极点产生的相位滞后使高频相位由接近-180°向-90°变化。在增益穿越频率处系统相位约为-135°对应相位裕度为45°相比不考虑ESR时明显增大有利于提高系统的稳定裕度和鲁棒性。至此两种情况下的小信号模型均通过了SIMPLIS仿真验证说明理论分析是正确的。后续可以基于理论的传递函数和波特图分析来设计闭环控制器参数以提升系统性能。4. 结论本文采用SIMPLIS对BUCK变换器的控制—输出小信号模型进行了仿真验证并分别分析了不考虑和考虑电容ESR时的频率响应。仿真波特图与理论波特图基本重合说明前期推导的小信号模型及控制—输出传递函数具有较好的准确性。在不考虑ESR时BUCK功率级具有一对位于左半平面的共轭复极点。该极点对由电感和电容的储能交换形成决定了系统的谐振频率、振荡衰减速度以及高频-40dB/dec的幅值衰减特性。在单位反馈假设下其相位裕度约为9°稳定裕度较小。考虑ESR后系统仍具有一对左半平面共轭极点同时引入一个左半平面ESR零点。该零点使高频幅值斜率逐渐变为 -20dB/dec并提供相位超前使等效相位裕度提高至约45°。不过实际闭环系统的稳定性仍应根据包含控制器、PWM增益和反馈网络在内的完整环路增益进行分析。后续可在本文模型基础上开展不同种类的闭环控制器参数设计以提高系统性能。有不清楚的欢迎评论区留言你的关注就是我坚持下去的动力