前面的学习已经解决了 IIR 滤波器的结构问题H(z) → Biquad → DF-I / DF-II Transposed → SOS 级联接下来进入真正的设计阶段工程需求 → 滤波器指标 → 选择逼近方法 → 构造模拟低通原型 → 最终得到数字 H(z)本文先解决其中两个问题怎样把“保留有用信号、滤除干扰”写成明确指标Butterworth、Chebyshev I 和 Chebyshev II 分别怎样逼近这些指标。一、为什么必须先定义滤波器指标“设计一个 100 Hz 低通滤波器”不是完整需求。所谓“100 Hz 截止频率”可能表示100 Hz 是通带边缘100 Hz 是阻带边缘100 Hz 是点完整设计至少需要其中Fs 采样率 fp 通带边缘频率 fst 阻带边缘频率 Rp 通带允许的最大衰减或波纹 As 阻带要求的最小衰减本文使用表示采样率使用表示阻带边缘避免两者都写成。二、一个完整的低通指标假设采样率为要求0100 Hz 的有效信号基本保留 150 Hz 以上的干扰充分衰减进一步量化为完整含义是0100 Hz 通带衰减不超过 1 dB 100150 Hz 过渡带不作严格约束 150500 Hz 阻带衰减至少 40 dB频带关系为0 Hz fp fst Fs/2 │────────────│──────────────│──────────────────────│ 通带 过渡带 阻带三、为什么必须留出过渡带理想低通希望在某个频率上从增益 1 瞬间下降到 0有限阶、因果、稳定的实际滤波器无法精确实现这种“砖墙”响应因此必须允许一段过渡区域一般来说过渡带越窄需要的滤波器阶数越高。同样阻带衰减要求越大、通带允许误差越小通常也会增加阶数。因此滤波器指标是一组工程权衡而不是越严格越好。四、通带指标幅值响应的分贝表示为若并将通带最大增益归一化为则通带要求为对应的最小线性幅值为当时所以“衰减不超过 1 dB”并不是“幅值误差不超过 1%”。五、阻带指标若要求则阻带内必须满足对应的最大线性幅值为例如因此阻带输出幅值最多是输入幅值的 1%。常见换算如下衰减线性幅值约 0.891约 0.707约 0.50.010.001六、实际频率、数字频率和归一化频率实际频率 f 与数字角频率的关系是对于得到同理一些数字滤波器工具使用相对于奈奎斯特频率的归一化频率本例为必须区分实际频率100 Hz 数字角频率0.2π rad/sample 归一化频率0.2它们表示同一个频率但数值和单位不同。七、什么是归一化模拟低通原型经典 IIR 设计首先建立一个标准模拟低通然后再将它转换成实际的数字低通、高通、带通或带阻。“归一化模拟低通原型”可以拆成归一化把关键参考频率缩放到 1 模拟使用连续时间变量 s 低通先建立标准低通模板 原型后续各种滤波器的设计基础这里主要归一化的是频率。若参考频率是定义于是实际频率被映射为原型只保留滤波器的形状暂时去掉实际频率尺度。例如一阶模拟低通令得到归一化形式之后只要进行频率缩放就能把标准模板移动到任何实际频率。八、三种原型怎样选择归一化基准归一化的目的是暂时去掉实际频率尺度只研究滤波器响应的标准形状。这里必须区分两个符号实际模拟角频率单位为 rad/s归一化频率无量纲一般定义为其中是选定的实际参考频率。当自然有所以归一化频率 1 并不是从幅频公式中计算出来的而是因为我们主动除了参考频率。三种原型选择的参考频率不同原型实际参考频率归一化定义的含义Butterworth临界频率幅值为Chebyshev I通带边缘通带波纹下界Chebyshev II阻带边缘阻带波纹上界后面介绍三种原型时统一按照以下顺序先写包含实际参考频率的公式 → 再定义归一化频率 → 得到标准原型公式 → 最后验证归一化频率 1 处的幅值九、Butterworth用较高阶数换取平滑响应Butterworth 的设计目标是让通带尽可能平坦并使整个幅频响应保持单调不产生等波纹。1. 未归一化幅频公式N 阶 Butterworth 模拟低通的幅度平方为其中N 是滤波器阶数是 Butterworth 临界频率是实际模拟角频率。2. 频率归一化定义实际临界频率就对应归一化原型写成3. 验证归一化参考点在处所以换算成分贝因此更准确的表述是Butterworth 选择临界频率作为归一化基准所以实际临界频率对应该点的幅值固定为。4. 阶数怎样影响响应对于固定的归一化临界频率不同阶数的 Butterworth 曲线都会经过阶数 N 增大时低频通带更加接近 0 dB临界频率附近下降更快高频阻带衰减更强参考点保持不变。因此阶数改变的是过渡速度不是归一化临界频率的位置。5. 工程特性通带单调、平滑、无等波纹 阻带单调下降、无等波纹 过渡带同阶情况下通常比 Chebyshev 更宽Butterworth 的优点通带幅值平滑响应容易解释不会主动制造通带或阻带波纹常作为通用 IIR 设计的第一选择。它的代价是在相同的通带、阻带和过渡带要求下通常需要比 Chebyshev 更高的阶数。十、Chebyshev I用通带波纹换取选择性Chebyshev I 的设计目标是充分使用允许的通带误差以更低阶数获得更陡的过渡带。1. 未归一化幅频公式N 阶 Chebyshev I 模拟低通的幅度平方为其中N 是滤波器阶数是 N 阶 Chebyshev 多项式是实际通带边缘决定通带波纹大小。2. 频率归一化定义实际通带边缘对应归一化原型为3. 波纹参数与通带波纹参数满足反过来也可以写成越大允许的通带波纹越大。补推导Chebyshev I 的归一化幅度平方为1. 找出通带最大增益在通带内当分母最小因此所以也就是。2. 找出通带最小增益当分母最大因此开平方得到这就是通带波纹的下界。3. 用分贝定义表示通带最大增益与最小增益之间的分贝差由于所以得到再次推导得4. 验证归一化参考点Chebyshev 多项式满足因此在归一化通带边缘有所以这表示通带边缘位于通带允许的最低增益准确的因果顺序是Chebyshev I 选择实际通带边缘作为归一化基准所以它被映射到把该点代入公式可以验证其幅值为。不是因为代入公式得到才把这个频率定义成 1。5. 为什么通带会出现等波纹在归一化通带Chebyshev 多项式满足所以随着频率变化会在 -1 和 1 之间反复振荡因此会在 0 和 1 之间反复变化。于是幅度平方在1和之间变化对应分贝范围这就是通带等波纹。“等波纹”不是随机起伏而是多个波纹峰值具有相同的最大误差。6. 为什么过渡带更陡当时Chebyshev 多项式可以写成它会随频率快速增长。由于位于幅频公式的分母中分母快速增大幅值就会快速下降。因此 Chebyshev I 的本质是在通带内让误差规律地振荡 → 充分使用 Rp 允许的全部误差 → 换取通带外更快的下降7. 工程特性通带等波纹 阻带单调下降 过渡带同阶时通常比 Butterworth 更陡优点相同指标下通常能降低阶数适合过渡带较窄、计算资源受限的系统。代价通带内不同频率的增益不同有用信号各频率分量的相对幅值会发生变化相位和瞬态通常比 Butterworth 更激进阶跃和脉冲响应可能出现更明显的振铃。十一、Chebyshev II把波纹和传输零点放到阻带Chebyshev II 也称为逆 Chebyshev。它的设计目标是保持通带单调把允许的等波纹放到阻带以换取更强的频率选择性。1. 未归一化幅频公式N 阶 Chebyshev Ⅱ 一种常用的幅度平方表达式为其中N 是滤波器阶数是实际阻带边缘决定阻带波纹上限。2. 频率归一化定义因此实际阻带边缘对应归一化原型写成3. 波纹参数与Chebyshev II 的波纹参数可写成阻带衰减要求越大越小。4. 验证归一化参考点在处所以代入可得因此即归一化阻带边缘处的增益为准确的表述是Chebyshev II 选择实际阻带边缘作为归一化基准所以它被映射到代入公式可以验证该点位于阻带允许上界。5. 为什么阻带会出现等波纹在阻带内所以Chebyshev 多项式在相应范围内振荡使阻带幅值也在零和允许上界之间反复变化。因此 Chebyshev II 的阻带不是单调下降而是下降到传输零点 → 幅值变为零 → 再回升 → 但不能高于 -As6. 传输零点从哪里来当时幅频公式中的趋于无穷大因此这些频率对应 Chebyshev II 的传输零点传输零点使某些阻带频率获得无限深的理论抑制也使阻带形成等波纹。需要区分两个知识点阻带边缘归一化为 1 来自频率尺度的定义 阻带具有传输零点 来自 Chebyshev II 的零点结构二者不是同一件事也不是前者导致了后者。7. 工程特性通带单调、无等波纹 阻带等波纹并存在传输零点 过渡带同阶时通常比 Butterworth 更陡优点通带保持平滑相同指标下通常比 Butterworth 需要更低阶数阻带零点能够在某些频率产生很深的抑制。代价阻带不再单调不能只观察最深的零点必须检查整个阻带中最高的波纹是否仍低于相位仍然是非线性的。十二、三种原型怎样使用允许误差三种原型都在逼近理想砖墙响应但使用允许误差的方式不同。Butterworth通带不使用等波纹 阻带不使用等波纹 以较缓的过渡换取整体平滑Chebyshev I充分使用通带允许误差 Rp 让通带误差等幅振荡 换取更快的带外下降Chebyshev II保持通带单调 在阻带使用等波纹和传输零点 换取更强的频率选择性统一比较如下原型通带阻带同阶过渡特性主要代价Butterworth单调平滑单调平滑通常较缓阶数通常较高Chebyshev I等波纹单调通常较陡通带幅值误差Chebyshev II单调平滑等波纹、有零点通常较陡阻带不平滑“通常较陡”只表示一般趋势。具体阶数和过渡性能仍由共同决定。十三、幅度平方公式怎样得到前面给出的都是但实际模拟滤波器需要的是对于实系数模拟滤波器因此把推广为复变量 s设计理论会构造然后对其中的分母多项式进行因式分解。这个多项式产生的候选极点通常关于虚轴或原点成对出现。为了得到因果、稳定的模拟滤波器只选择左半平面的极点最后由稳定极点、相应零点和增益组成因此构造过程是选择目标幅度平方函数 → 构造相应多项式 → 求候选零极点 → 只保留左半平面极点 → 调整增益 → 得到稳定模拟原型 Hₚ(s)这就是为什么原型的幅频公式能够最终产生一个模拟传递函数。通用流程已知某种原型的幅度平方构造 H(s) 的流程是使用把的偶次幂换成 s得到对分子和分母进行因式分解。从镜像成对的候选极点中选择左半平面极点根据滤波器类型选择零点并调整增益。得到稳定的最后代入验证幅度平方是否回到原公式。最重要的一句话是幅频公式先确定因式分解后再选择左半平面的稳定因子才得到我们需要的 H(s)。幅值本身不能唯一决定相位稳定性条件帮助我们选出工程上需要的那个解。十四、三种原型的零极点结构三种原型的幅频差异最终来自零极点分布差异。1. Butterworth分子为常数没有有限传输零点是全极点低通极点均匀分布在左半平面的圆周上极点全部满足。2. Chebyshev I分子为常数没有有限传输零点也是全极点低通极点分布在左半平面的椭圆上这种分布对应通带等波纹。3. Chebyshev II具有有限传输零点模拟低通原型的有限零点位于虚轴上这些零点产生阻带中的深陷稳定极点仍位于左半平面。可以压缩为Butterworth 圆周极点 → 平滑、单调 Chebyshev I 椭圆极点 → 通带等波纹 Chebyshev II 极点 虚轴零点 → 阻带等波纹和深陷十五、通带波纹是不是失真如果通带包含有用信号那么通带波纹会改变不同频率成分的相对幅值。例如两个通带频率原本具有相同幅值其中一个获得另一个获得后者的线性幅值会变为因此两个频率分量的相对幅值发生了变化。所以Chebyshev I 的通带波纹确实属于幅度响应误差。只是设计时明确允许这种误差并用它换取更低阶数更窄过渡带更少的 SOS更低的运算量。Chebyshev II 把等波纹放在阻带。由于阻带信号本来就要被抑制阻带波纹通常比通带波纹更容易接受。但仍必须检查阻带内最高的波纹峰值是否满足不能只观察传输零点处有多深。十六、三种原型的相位都不是线性的三种原型的上述“平坦”和“等波纹”都只描述幅频响应不表示相位响应是线性的。模拟原型的相位由零点和极点共同决定。为了用较低阶数实现陡峭的幅频响应不同频率通常会产生不同的群时延因此Butterworth 幅值最大平坦 ≠ Butterworth 相位线性 Chebyshev 过渡带更陡 通常也意味着更明显的相位变化和振铃工程选择时除了幅频响应还应观察相频响应群时延阶跃响应冲激响应启动瞬态振铃程度。如果项目严格要求波形保持或线性相位普通 IIR 可能不是最合适的方案。十七、工程上怎样选择三种原型优先考虑 Butterworth 的情况通带幅值需要平滑 过渡带要求不是特别苛刻 可以接受相对较高阶数 希望响应简单、可预测考虑 Chebyshev I 的情况允许明确的通带波纹 过渡带较窄 希望降低阶数和计算量 更加重视频率分离能力考虑 Chebyshev II 的情况希望通带保持单调 允许阻带存在等波纹 希望比 Butterworth 获得更陡的过渡带 需要某些阻带频率具有很深的抑制实际选择时应对候选方案统一比较满足指标所需的最低阶数SOS 数量通带最大和最小增益阻带最坏衰减过渡带宽度相频响应和群时延冲激响应与阶跃响应振铃和启动瞬态系数量化后的稳定性各 SOS 节的内部动态范围。十八、本篇结论滤波器指标规定滤波器必须满足什么要求。归一化模拟低通原型则规定使用什么标准响应形状去逼近这些要求。归一化的统一逻辑是因此三种原型分别选择Butterworth Ωref Ωc 归一化频率 1 对应 -3.01 dB 临界点 Chebyshev I Ωref Ωp 归一化频率 1 对应 -Rp 通带边缘 Chebyshev II Ωref Ωst 归一化频率 1 对应 -As 阻带边缘三种原型的核心取舍是Butterworth 不使用等波纹用阶数换取平滑响应 Chebyshev I 使用通带等波纹换取更强选择性 Chebyshev II 使用阻带等波纹和传输零点换取更强选择性下一步将从这些模拟低通原型出发学习怎样根据实际滤波器指标确定阶数、恢复实际模拟频率并最终通过双线性变换得到数字传递函数 H(z)。