目录1.8 附录关于傅里叶级数收敛性的注解(Notes on the Convergence of Fourier Series)1.8.1 借助Dirichlet核研究部分和:回到蜂鸣声问题(Sdudying partial sum via Dirichlet kernel:The buzz is back)1.8.2 收敛速度和平滑度:Fourier系数有多大(Rates of convergence and smoothness: How big are the Fourier coefficients?)1.8.3 复指数真的是L2​编辑 ([0,1])的一个正交基吗(The complex exponentials really are an orthonormal basis for L2​编辑 ([0,1] ?)1.8.4 附录逐点收敛对比一致收敛(Appendix: Pointwise convergence vs. uniform convergence)1.9 附录Cauchy-Schwarz 不等式(Appendix: The Cauchy-Schwarz Inequality)1.9.1 L2​编辑 ([0,1] 的Cauchy-Schwarz 不等式(Cauchy-Schwarz for L2​编辑 ([0,1])1.9.2 Fourier系数适用Cauchy-Schwarz不等式很好(The Fourier coefficients are fine)1.9.3 卷积也适用Cauchy-Schwarz不等式(And convolution is also OK)1.9.4 平方可积意味着可积(Square integrable implies integrable)1.8 附录关于傅里叶级数收敛性的注解(Notes on the Convergence of Fourier Series)我的第一条评论是“不要去那里。” 或者至少谨慎行事。自从Fourier因其发现的方法的普遍性而震惊了法国社会以来关于Fourier级数收敛性的问题一直是数学分析中最棘手的问题之一(注戏剧化的叙述会让你相信这种方式会导致疯狂。可怜的格Georg Cantor遭受了惨重的痛苦但这并不是因为Fourier级数的收敛。真的不是因为Fourier级数)。在这里我们将非常谨慎而稍微谷歌一下就会很快找到你想知道的或者找到比你相知道的还更丰富的资料。我们将给出一些解释一些参考资料但不会提供完整的证明甚至不会提供完整的证明介绍。将本节视为您在其他地方可能会遇到的术语的介绍并展示一些结论如果有数学家偷偷接近(sneaks up)您您可以使用这些结果进行自卫(译注表示知道这些数学知识)。无穷级数的收敛总是关于部分和的收敛。在 Fourier级数的背景下就意味着对于函数f(t),讨论其部分和的收敛性,这个动作发生在 0 ≤t≤ 1 上。问题是当N⟶ ∞ 时在部分和上会发生什么。大致说来有三种好事(1)逐点收敛(Pointwise convergence) 。插入一点t, 我们有, 但是我们不会说太多例如关于从一点到下一点的收敛速度。(2)一致收敛(Uniform convergence) 。这点比逐点收敛强烈。除了表述对于某个t∈[0,1] 有还表述了当N⟶ ∞ 时有。换句话说当N变大的时候这个部分和在整个0 ≤t≤ 1上都保持贴近f(t)从中产生了这个描述子(descriptor)“一致(uniform)”,例如“一致接近(uniform close)”更多细节参见1.8.4节(译注“一致”的直观体现是在整个区间上级数和函数都是贴近状态不存在个别地方距离很大的情况)。(3)在上收敛。这就是我们上一节刚刚讲完的内容。条件是。更多完整的定义需要熟练地应用ε和δ描述法如果你选修数学分析课程你就会受到这些方法和术语的打击。(注但这可能是一次值得的打击。 我的同事Stephen Boyd曾是一名数学专业的学生他希望他所有的博士生都进行分析不是因为他们会使用具体的结果而是因为这门课程所带来的清晰的思想。我对这个课程也抱有一些希望。)在这三种模式中一致收敛是最强的因为它隐含了其他两种模式。逐点收敛是从 1.5.1 节中的定理获得的收敛类型并且在跳跃不连续处部分和实际上收敛到跳跃的平均值。 一致收敛需要比分段连续性更高的平滑性(该定理中的假设)。第 1.8.2 节中将有一个与此相关的定理。看起来收敛作为均值收敛的一种与插入特定t值时部分和发生的情况无关。 然而有一些定理确实解决了这种联系而且它们是商业中最困难和最微妙的定理之一。1.8.1 借助Dirichlet核研究部分和:回到蜂鸣声问题(Sdudying partial sum via Dirichlet kernel:The buzz is back)回顾 1.6 节分别讨论蜂鸣声信号和卷积。他们将以一种最有趣的方式出现在一起尤其是对于电气工程师来说。如果您有一些信号处理背景您可能会认识到部分和就是应用低通滤波器到完整Fourier级数产生的结果。从–N到N的低频率部分保形“通过”而低于–N或高于N频率的部分被清零了。这是怎么实现的是通过与Dirichlet核的卷积运算来实现的。回顾一下当两个周期信号进行卷积运算时是它们的Fourier系数相乘。在这种情况下对于和f(t),。但是。因此的Fourier级数是。这便是低通滤波器。我在数学专业的时候从未见过这样的描述。我们将再次看到低通滤波器涉及Fourier变换。作为一个积分(注如果你已经在怀疑为什么称为“核(kernel)”其原因在于这个方程。就在此时此刻出现在积分中对f(τ)积分产生一个t的函数。在某些数学领域t的函数按积分表达式定义(卷积便是一个例子)函数k(t,τ)称为一个核。我们将在第7章看到这一点。现在你知道了。在另一方面我不知道这个专用词“kernel”出自何处。。针对还有另一种写法事实证明它对于分析的收敛性更有帮助(注我并不是说这些都是显而易见的事情只是说“事实证明它会更有帮助”正如我们将看到的。一起去兜风 很快就会结束。)。因为是偶数使用变量替换uτ–t给到------------------------------------------------------------------。最后这个等式成立因为是周期为1的周期函数所以在任意长度为1的区间上积分都能得出同样的答案。现在请记住我们不仅想知道当N⟶ ∞ 时收敛我们还想知道它收敛于f(t)(或者在有跳跃点的不连续情况下收敛于平均值)。为了帮助理解这一点还有一个技巧。我们想到我们有。因此---------------------。最后回到作为一个正弦比的封闭形式的表达式将变量u换回τ因为它看起来更好将积分限改为从-1/2到1/2(根据周期性是可行的),因为这样将使得后续的分析更容易。正是这个表达式用于证明关于的结论。非常简单这就是原因。 收敛定理中的假设、1.5.1 节中的定理以及下一节中的定理都涉及f(t)的局部属性(local property)例如一点的连续性、跳跃不连续性和一点的可微性。对于固定点t这意味着当τ很小时查看f(tτ) -f(t)。这种思想是取一个足够小的δ 0 , 并将积分分段基于f(t) 的合理假设就像我们在逐段连续性和可微性上看到的那样加上Dirichlet核的显式形式使得当N⟶ ∞ 时估算积分并证明收敛成为可能。您对不同的积分使用不同的估算。根据假设我们可以推导出逐点收敛或更强的一致收敛。如果这是一门常规数学课程我会给出完整的论据并做出估算这是我一直喜欢的。但这不是一门常规数学课程因此如果您想了解更多信息我现在将让您查阅文献。除了许多专门讨论Fourier级数的书籍之外许多介绍性数学分析的书籍都包含有关Fourier级数的一章并将从我们上次停下的地方继续(注如果您确实进行了查找请注意不同的归一化(即不同的周期选择)将影响Dirichlet核。例如如果作者使用周期为 2π的周期函数则相应的Dirichlet核为。Peter Duren 的 An Invitation to Classical Analysis(经典分析邀请)中有一个特别清晰的讨论。接下来我还想介绍一些更多的数学要点。1.8.2 收敛速度和平滑度:Fourier系数有多大(Rates of convergence and smoothness: How big are the Fourier coefficients?)假如我们有一个平方可积的函数f(t)的Fourier级数。如前所述根据 Bessel 不等式当n⟶±∞ 时。知道Fourier级数趋近于 0 ,我们能说出趋近速度有多快吗这是一种简单的方法它给出了答案的一些意义并展示了答案如何取决于函数或其导数的不连续性。所有这些讨论仅基于具有定积分的分部积分。与往常一样假设f(t) 是周期 1 的周期性。在本次讨论中我们假设函数不会在端点 0 和 1 处跳转并且任何问题点都在区间内(注这确实不是一个限制。 我只想处理一个不连续性以便后面的论证)。也就是说我们“ 重新想象一下在在处可能会出现问题因为也许f(t) 会跳到那里或者f(t) 在处是连续的但有一个拐角所以f(t)会跳 在处是连续的但有一个拐角所以f(t)会跳在。为了分析附近的状况将其写成两个积分和的形式。对以上每一个积分应用分部积分法。这样做时我们假设函数至少在远离的地方具有我们想要的任意数量的导数。然后在第一次通过时将这些等式加起来。使用f(0) f(1) 结果是其中符号和表示当我们在点取左右极限的时候我们正在考察f(t)的值。如果f(t) 在是连续的则括号中的项消没对于就仅剩下积分表达式。但如果f(t) 在点是不连续的(例如存在跳跃点)则这一项不会消没则我们预计Fourier系数的大小为 1/n阶(注如果我们有更多的跳跃不连续点我们会将积分分解为几个子区间并且我们会有多个 1/n阶项。组合结果仍为 1/n阶。如果函数在端点 0 和 1 处跳转情况也是如此。)。现在假设f(t) 在点是连续的,并进行第二次分部积分。以和上面同样的方式给出。若(一阶导数)在点是连续的,则括号中的部分消没。若在点是不连续的例如若在点处存在拐角则这一项不会消没则我们预计 Fourier系数的大小为阶。我们可以继续按这样的方式进行下去。大致的经验法则可以表述如下如果f(t)不连续则Fourier系数应该具有一些类似1/n的项。如果f(t)在除了拐角(f(t)连续但其导数不存在)之外处处可微则Fourier系数应该具有一些类似的项。如果存在但不连续则Fourier系数应该具有一些类似的项。中的不连续性更难以可视化 就图表而言它通常是曲率的不连续性。 例如想象一条曲线由一段圆弧和一条在其端点与圆弧相切的线段组成。类似下面的图。-------------------------图11.不连续性示意图---------------------曲线及其一阶导数在切点处连续但二阶导数有跳跃。如果您以恒定速度沿着这条路径骑行当您经过切点时您会感到猛拉的感觉——加速度的不连续性。显然这种模式扩展到高阶导数的连续性/不连续性。它也与我们之前的一些例子相吻合。方波具有跳跃不连续点其Fourier 级数是。三角波其本身是连续的但是其导数是不连续的。(事实上这个导数是方波。) 其Fourier级数是。周期函数的平滑度(smoothness)(可微分程度)与收敛速度和Fourier系数的大小密切相关。在前面提到的Fourier Series and Integrals一书中Dym 和 McKean 是这样表述结果的定理 令f(t)为周期为1的周期函数。假设f(t)是p次连续可微的其中p至少为1 。(这包括在端点 0 和 1 处连续匹配的导数。)则其部分和在闭区间[0,1]上随着N⟶ ∞而逐点且一致地收敛于f(t) 。此外对于0 ≤t≤1,。事实上在的最大值上存在一个趋于 0 的界(随着N的增大)。正是这个随着N的增大而趋于 0 的界使得这个部分和一致收敛。我们不证明这个定理使用来自1.8.1节的的 Dirichlet核的表示证明。再一次地这个结论的一个有趣的方面与函数的局部属性如何反映在其Fourier级数的全局属性中有关。在目前的背景下函数的“局部属性”是指它的平滑程度即它连续可导的次数。关于级数人们可以问的唯一一种“全局问题”是它们收敛的速度有多快这就是这里的估算值。要点是近似误差以及间接系数减小的速度是由信号的平滑度(可微分程度)决定的。函数(“局部”表述)越平滑近似效果就越好这不仅是平均L2意义上的而且在整个区间(“全局”表述)上都是一致的。此外Fourier系数本身由积分定义是函数的全局方面。关于Fourier系数的可微性和大小的最后评述。平滑度的极端情况是f(t)连续可微到任意阶。记录这一点的记法是f(t) 是 [0,1] 上的类函数。(这意味着所有导数也在端点处匹配对于任意k≥ 0 。) 在那种情况下您可以证明Fourier系数是急速递降的(rapidly decreasing)。这意味着对于任意k≥ 0 当n⟶±∞ 时。换句话说比起n的任意非负幂f(n)更快地趋近于 0 。事实上反之亦然如果 Fourier系数是急速递降的,则f(t) 是 [0,1] 上的类函数。您可能厌倦了所有这些预示(foreshadowing)但我们还将看到局部与全局相互作用在Fourier变换的属性中发挥作用特别是在平滑度(smoothness)和递降率(rate of decay)之间的关系中。这就是为什么我希望我们看到Fourier级数的原因之一。你难道不知道吗我们还会再次遇到函数急速递降的情况。1.8.3 复指数真的是L2([0,1])的一个正交基吗(The complex exponentials really are an orthonormal basis forL2([0,1] ?)Fourier级数理论的热点展示(parade)中剩下的一点是复指数是一个基即。我之前说过我们不会尝试完整地证明这一点我们也不会。但通过前面的讨论我们可以更准确地说明证明是如何进行的以及我们无法讨论的问题是什么。论证分三步进行。令f(t) 为一个平方可积函数并令ε 0 。第1步中的任意函数都可以用范数中的一个连续可微函数来逼近。以的一个已知函数和ε 0 开始我们可以求得一个 [0,1] 上的连续可微函数g(t),使其满足|f-g| ε。这一步正是我们不能完成的一步正是在这里在证明这一表述时我们需要更一般的Lebesgue积分理论以及随之而来的约束过程(注事实上中的任何函数都可以用无限可微函数来逼近。我们将在第 4 章中以卷积作为平滑运算的背景来讨论这一点)。第2步从上一节的讨论中我们现在知道连续可微函数(定理表述中的p 1)的部分和一致收敛于该函数。因此对于步骤 1 中的g(t)我们可以选择足够大的N使得。则对于范数 。因此。第3步请记住Fourier系数为函数提供了中的最佳有限逼近。因为我们需要它。则最后------------------------------------------------------------------------------------。这就证明了通过取N最够大而变得任意小这就是我们需要做的。为了使整个图景更加完整让我添加最后一点这与我们所做的有点相反。我们不会使用它但它可以很好地把事情联系起来。若是满足的任意复数序列则函数位于中意味着部分和极限收敛于中的一个函数,并且。这通常称为 Riesz-Fischer 定理。告别这一切。够了吗有很多材料刚刚经过您的途径我再说一遍您可能会在其他场所遇到这些想法和术语。但老实说这些结果更多的是数学问题而不是日常实际问题。引用帮助发明快速Fourier变换算法(即将到来的吸引力)的杰出应用数学家John Tukey的话“我不想乘坐一架其设计取决于函数是Riemann可积还是Lebesgue可积的飞机。”1.8.4 附录逐点收敛对比一致收敛(Appendix: Pointwise convergence vs. uniform convergence)这是一个典型的例子它表明逐点收敛与一致收敛不同或者说是同一件事我们可以拥有一系列函数具有这样的属性——当n⟶ ∞ 时对于t的每一个值都有但是最终的图像看起来与f(t)的图像不像。让我们换一句来表述这样一个函数序列绘一个图然后让你出它对应的公式。所有函数都将定义在[0,1]上。对于每一个n,的图像从1/n到1 都是 零而对于 0 ≤t≤1/n是一个高度为的等腰三角形(isosceles triangle)。以下是和的图像。-----------------------图 12.和的图像-----------------------------------随着n的增加峰值向左滑动并变得越来越高。很明显对于每个t序列趋于 0 。这是因为对于所有n并且对于任何t 0最终(即对于足够大的n)峰值将逐渐滑到t的左侧并且从n开始将为零。 因此逐点收敛于常数 0 。但是的图形肯定不会一致地接近 0因为一致收敛非常值得重视所以您可能会很高兴知道有一个相当灵活的结果可以保证它。它被称为 Weierstrass M检验(WeierstrassM-test)(注以 K. Weierstrass 的名字命名。他的职业生涯很有趣主要靠自学成才并在(德语)高中任教多年。他以强调严谨著称因此引起了许多数学专业学生和数学教授的无尽担忧)如下所述。Weierstrass M检验 令为 0 ≤t≤1 上的函数的一个序列并假设存在数其具有下列的属性(1) 对于每一个固定的n,对任意 0 ≤t≤1 我们有。(2) 数级数收敛 。则函数级数在 0 ≤t≤1 上一致收敛。该定理没有说明级数收敛到什么。回到第 1.4 节我们只需要 Weierstrass M检验即可证明三角波的Fourier级数在 0 ≤t≤1 时一致收敛。为什么呢但测试并不能让我们对方波得出任何结论。为什么1.9 附录Cauchy-Schwarz 不等式(Appendix: The Cauchy-Schwarz Inequality)这是一个著名且有用的不等式。它一定会在某个地方有用所以就在这里了。Cauchy-Schwarz不等式是两个向量的内积与其范数之间的关系。它指出。这是一个真正的主力(workhorse)你应该知道它。 你甚至会在书中散布的一些问题中看到它的实际应用。对于几何向量从内积的几何公式中可以看出这一点很简单因为 cos(θ) ≤ 1 。实际上内积几何公式的基本原理(rationale)推导自Cauchy-Schwarz不等式。如何从几何向量内积的代数定义导出不等式当然并不明显。用分量写出来不等式表示(对于实数向量)找个时间坐下来尝试一下。Cauchy-Schwarz不等式的推导通常仅使用前面列出的内积的四个代数性质。因此相同的论点适用于满足这些属性的任何乘积例如上的内积。这是一个如此优雅的论点(我相信是约John von Neumann提出的)我想向您证明它。我们将在这里给出真正的内积并附上对复杂情况的评述。任何不等式最终都可以用这样的方式来表示某个数量是正数或者至少是非负数。 我们所知道的正数的例子有实数的平方、某物的面积和某物的长度。更微妙的不等有时依赖于凸性(convexity)例如质量系统的重心包含在质量的凸包 (convex hull)内。这个关于不等本质的小小即兴表演(riff)可以说是宇宙的一个小秘密。为了证明Cauchy-Schwarz不等式我们使用向量的范数是非负的但我们引入一个参数。令r为任意实数。则。将其写为内积并使用代数性质进行扩展由于同质性、对称性和可加性这就像乘法一样——认识到这一点很重要。这是r为未知数的二次方程形如其中。第一个不等式以及随后的一系列(the chain of)等式表明这个二次方程始终是非负的。现在始终为非负的二次方程必须具有非正判别式(discriminant):判别式 确定了这个二次方程的根的特征如果判别式为正则有两个实根如果有两个实根则二次方一定在某处为负。因此,转换成或者。不等式两边取平方根得到如预期结果。很惊奇不是吗——二次公式的重要应用(注作为这个论点的一个小替代如果这个二次方程处处非负则特别地其最小值是非负。最小值发生在t -b/(2a)最终导出同样的不等式)。回到几何我们现在知道。因此存在唯一的一个角θ(0 ≤θ≤π)使得。即 。这也证明了Cauchy-Schwarz不等式中等式何时成立即向量方向相同(或相反)的情况。三角不等式可以从Cauchy-Schwarz不等式直接导出。下面是论证。---------------------------------------------(根据Cauchy-Schwarz不等式)----------------------------。对上式两边取平方根得到。在坐标中它表明。以下是如何从我们已经完成的工作中获得复数内积的Cauchy-Schwarz不等式。对于复数向量和不等式表明。在不等式的左边我们有复数的大小。与我们在现实情况中所做的略有不同令为一个复数(r是实数)并考虑--------------------------------------------------。现在我们可以选择θ为我们想要的任何值这样做是为了使。用乘以将复数顺时针方向旋转θ角,因此选择θ以将旋转到实数轴和正数。从这里开始论证与现实情况中的论证是一样的。1.9.1L2([0,1] 的Cauchy-Schwarz 不等式(Cauchy-Schwarz forL2([0,1])让我再次强调Cauchy-Schwarz不等式的证明仅取决于内积的代数性质因此对于上的(复)内积成立。 它采用令人印象深刻的形式。我们现在还知道三角不等式成立|fg| ≤ ||f|| ||g|| 即。顺便说一句内积确实有意义。 由于这是数学部分我应该指出我跳过了数学部分。如果f(t) 和f(t) 是平方可积的那么为了使Cauchy-Schwarz不等式成立必须知道内积 (f,g) 有意义即。不用恐惧要推断出这一点您可以使用。这是算术平均值和几何平均值之间的不等式——查一下(注又是正的) 则------------------------。因为我们以假设f(t) 和f(t) 是平方可积的开始。Cauchy-Schwarz不等式是有根据的我们很高兴。1.9.2 Fourier系数适用Cauchy-Schwarz不等式很好(The Fourier coefficients are fine)现在我们知道Cauchy-Schwarz不等式确实没问题一个结果是幸运的事实是中函数的Fourier系数存在。也就是说我们可能想知道是否存在。我们不用考虑太多(注您还可以通过使用算术几何平均不等式来推断有意义)。1.9.3 卷积也适用Cauchy-Schwarz不等式(And convolution is also OK)我们并没有提出确定两个周期函数f(t)g(t)的卷积 (f*g)(t) 是否确实被定义的问题即积分存在。假设f(t)g(t) 是函数我们有。现在您可以通过调用周期性来完成右侧有限的论证。1.9.4 平方可积意味着可积(Square integrable implies integrable)Cauchy-Schwarz的另一个有时被低估的结论是平方可积函数也是绝对可积的这意味着如果则。为了理论这一点应用 Cauchy-Schwarz 不等式到 |f(t)|.1 产生因为f(t) 和 常量函数 1 在闭区间 [01]上都是平方可积的。忠告如果闭区间 [0, 1] 被整条实数轴替换这个简单的、几乎是随手的论证就“无效了”。 常数函数 1 在 ℝ 上有一个无限积分。您可能认为我们可以解决这个小不便但这“正是”在尝试将Fourier “级数”思想(其中函数在有限间隔上定义)应用到Fourier变换的想法(其中函数在所有 ℝ 上都有定义) 时有时会出现的麻烦。内容来源lectures on the fourier transform and its applications Brad G. Osgood参考资料Trigonometric Delights 作者Eli Maor Fourier Analysis for Beginners Larry N. Thibosfourier analysis an introduction Elias M. Stein