第一部分导论与数学基础第1章 为什么需要 Dirac Notation1.1 教学目标理解量子力学中符号体系的重要性掌握 Dirac Notation 与线性代数的对应关系建立“量子态即向量”的几何直觉1.2 教学内容量子力学和量子计算中我们经常需要处理复数向量空间中的向量以及作用在这些向量上的线性算符。在经典线性代数中我们习惯用列向量和矩阵来表示这些对象例如一个量子态可以写成 |ψ⟩ (α) (β)但这种写法在多 qubit 系统中会变得极其冗长。想象一个 3-qubit 系统它的状态向量是一个 8 维复向量|ψ⟩ (α₀) (α₁) (α₂) (α₃) (α₄) (α₅) (α₆) (α₇)每次都要写这么一长串不仅麻烦而且容易丢失物理意义。更重要的是量子力学中有大量的内积、外积、投影操作使用矩阵形式会让推导变得机械而缺乏直观。Paul Dirac在 1939 年发明了一套符号体系完美地解决了这个问题。这套体系的核心思想是用一个符号表示整个向量而不是它的分量例如我们将基态记为|0⟩ 代替 (1 0)^T|1⟩ 代替 (0 1)^T然后任意态就可以简洁地写成基态的线性组合|ψ⟩ α|0⟩ β|1⟩这个表达式同时传达了|ψ⟩ 是一个向量它由基态 |0⟩ 和 |1⟩ 张成它在 |0⟩ 方向上的投影分量是 α在 |1⟩ 方向上是 β这种写法将物理意义系统处于 |0⟩ 和 |1⟩ 的叠加和数学结构复线性组合完美统一。1.3 从向量到 Ket在深入 Dirac Notation 之前让我们先回顾线性代数中的向量表示。标准列向量表示(1) (0) |0⟩ (0) |1⟩ (1)Ket 的本质Ket 就是一个列向量符号 |·⟩ 内部可以填入任何有意义的标签。常见的包括|0⟩, |1⟩ —— 计算基态|⟩, |-⟩ —— Hadamard 基态|↑⟩, |↓⟩ —— 自旋态|ψ⟩, |ϕ⟩ —— 任意量子态关键理解|ψ⟩ 这个符号本身代表的是整个向量而不是向量的某个特定分量。当我们写 |ψ⟩ α|0⟩ β|1⟩ 时我们是在用基展开的方式定义这个向量。1.4 从共轭转置到 Bra对于每一个 Ket |ψ⟩我们可以定义它的共轭转置在数学中称为 Hermitian 共轭记为 ⟨ψ|读作 “bra”。数学定义如果(α₁) |ψ⟩ (α₂) (α₃) ( ⋮ )那么⟨ψ| (α₁*, α₂*, α₃*, ...)其中 * 表示复共轭。为什么需要 BraBra 的引入是为了自然地表示内积。在线性代数中两个向量的内积定义为⟨ϕ|ψ⟩ (ϕ₁*, ϕ₂*, ...) (ψ₁) (ψ₂) ( ⋮ )注意这个符号 ⟨ϕ|ψ⟩ 恰好由左右两个部分拼接而成——左边是 bra右边是 ket合起来是一个括号bracket这就是 Dirac 命名的由来。1.5 Dirac Notation 的三个层次为了深入理解这套符号体系我们需要区分三个不同的数学对象符号数学对象维度示例|ψ⟩向量列n×1|0⟩, |1⟩, |⟩⟨ψ|对偶向量行1×n⟨0|, ⟨1|, ⟨‖|ϕ⟩⟨ψ|算符矩阵n×n|0⟩⟨0|, |1⟩⟨1|直观理解Ket 是“完整的态”Bra 是“用于测量的探针”外积是“态的投影器”1.6 练习与思考练习 1.1将以下列向量写成 Dirac Notation 的形式( 1 ) v ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )提示这是一个 4 维向量属于双 qubit 空间解答v |00⟩练习 1.2写出 |⟩ (|0⟩|1⟩)/√2 对应的 Bra 向量 ⟨|。解答⟨| (⟨0|⟨1|)/√2 (1/√2, 1/√2)练习 1.3说明为什么 ⟨0|1⟩ 0 而 ⟨0|0⟩ 1。解答这是计算基的正交归一性。在列向量表示中⟨0|1⟩ (1,0) (0) 1×0 0×1 0 (1) ⟨0|0⟩ (1,0) (1) 1×1 0×0 1 (0)1.7 本章小结概念符号线性代数对应量子态|ψ⟩列向量对偶态⟨ψ|行向量共轭转置内积⟨ϕ|ψ⟩行向量乘列向量外积|ϕ⟩⟨ψ|列向量乘行向量概率|⟨ϕ|ψ⟩|²内积模平方核心记忆Ket 列向量Bra 共轭转置后的行向量Bra-Ket 复数内积Ket-Bra 矩阵外积第2章 复向量空间与 Hilbert 空间2.1 教学目标理解量子态空间的数学结构掌握复数在量子力学中的必要性理解归一化条件的物理意义2.2 为什么必须是复数初学者常常困惑为什么量子力学一定要用复数用实数向量难道不行吗答案是实向量空间无法描述量子干涉和相位效应。考虑一个简单实验Mach-Zehnder 干涉仪。一束光经过第一个分束器后变成两条路径的叠加再经过第二个分束器后输出端的强度取决于两条路径之间的相对相位。如果只用实数表示振幅我们只能描述“相加”或“相减”无法描述连续变化的相位差如 e^{iθ}。数学论证假设我们有一个单 qubit 态经过 Hadamard 门后再经过一个相位门最后再经过 Hadamard 门|0⟩ → H → S → H → ?如果限制在实数域S 门无法表示因为 S|1⟩ i|1⟩。而正是这个 i 带来了可观测的干涉效应。复数在量子力学中的角色振幅|α| 决定概率大小相位arg(α) 决定干涉行为全局相位e^{iθ}|ψ⟩ 与 |ψ⟩ 物理等价相对相位α|0⟩β|1⟩ 与 α|0⟩e^{iφ}β|1⟩ 物理不同2.3 Hilbert 空间公理量子态所在的数学空间是一个复 Hilbert 空间记为 ℋ。它满足以下公理公理 1向量空间对任意 |ψ⟩, |ϕ⟩ ∈ ℋ线性组合 α|ψ⟩β|ϕ⟩ ∈ ℋ存在零向量 |0⟩注意不是量子态 |0⟩而是数学上的零向量满足结合律、交换律、分配律公理 2内积存在内积映射 ⟨·|·⟩ : ℋ×ℋ → ℂ共轭对称性⟨ϕ|ψ⟩ ⟨ψ|ϕ⟩*线性性对第二个参数⟨ϕ|(α|ψ₁⟩β|ψ₂⟩) α⟨ϕ|ψ₁⟩ β⟨ϕ|ψ₂⟩正定性⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0且等于 0 当且仅当 |ψ⟩ 0公理 3完备性任何 Cauchy 序列收敛到空间内的一点保证极限运算封闭物理附加条件量子态是单位向量⟨ψ|ψ⟩ 1全局相位等价|ψ⟩ ∼ e^{iθ}|ψ⟩2.4 内积的性质与计算内积 ⟨ϕ|ψ⟩ 是量子力学中最重要的运算之一。让我们详细剖析它的性质。性质 1共轭对称⟨ϕ|ψ⟩ ⟨ψ|ϕ⟩*这意味着交换顺序会得到复共轭。性质 2对第一参数的共轭线性⟨(αϕ₁βϕ₂)|ψ⟩ α*⟨ϕ₁|ψ⟩ β*⟨ϕ₂|ψ⟩注意系数要取复共轭这是初学者最容易犯的错误。性质 3对第二参数的线性⟨ϕ|(αψ₁βψ₂)⟩ α⟨ϕ|ψ₁⟩ β⟨ϕ|ψ₂⟩这一边不取复共轭。性质 4范数‖ψ‖ √⟨ψ|ψ⟩量子态必须满足 ‖ψ‖ 1。计算示例设 |ψ⟩ (1/√2)(|0⟩ i|1⟩)⟨ψ|ψ⟩ (1/√2)(⟨0| - i⟨1|) × (1/√2)(|0⟩ i|1⟩) (1/2)(⟨0|0⟩ i⟨0|1⟩ - i⟨1|0⟩ ⟨1|1⟩) (1/2)(1 0 - 0 1) 1注意 ⟨0|1⟩ ⟨1|0⟩ 0⟨0|0⟩ ⟨1|1⟩ 1。2.5 正交归一基定义一组向量 {|e₁⟩, |e₂⟩, …, |e_n⟩} 构成正交归一基如果正交性⟨e_i|e_j⟩ 0 当 i ≠ j归一性⟨e_i|e_i⟩ 1完备性任何向量都可以表示为它们的线性组合计算基{|0⟩, |1⟩}满足⟨0|0⟩ 1, ⟨1|1⟩ 1⟨0|1⟩ 0, ⟨1|0⟩ 0完备性关系非常重要的恒等式|0⟩⟨0| |1⟩⟨1| I其中 I 是单位矩阵。这个等式可以用来“插入”基展开|ψ⟩ I|ψ⟩ (|0⟩⟨0| |1⟩⟨1|)|ψ⟩ ⟨0|ψ⟩|0⟩ ⟨1|ψ⟩|1⟩这正是任意态在计算基下的展开式。推广到多 qubit对于双 qubit 系统完备性关系为(|00⟩⟨00| |01⟩⟨01| |10⟩⟨10| |11⟩⟨11|) I⊗I2.6 Born 规则的严格表述量子力学中测量结果的概率由 Born 规则给出对于可观测量 A 的本征态 |a⟩在态 |ψ⟩ 上测得结果 a 的概率为P(a) |⟨a|ψ⟩|²在计算基下的特殊形式测量单 qubit 时投影算符为 P₀ |0⟩⟨0|, P₁ |1⟩⟨1|。P(0) ⟨ψ|P₀|ψ⟩ ⟨ψ|0⟩⟨0|ψ⟩ |⟨0|ψ⟩|² P(1) ⟨ψ|P₁|ψ⟩ ⟨ψ|1⟩⟨1|ψ⟩ |⟨1|ψ⟩|²测量后状态投影公设如果测得结果 0系统塌缩到|ψ⟩ (P₀|ψ⟩) / √P(0) (⟨0|ψ⟩/|⟨0|ψ⟩|) |0⟩注意前面的相位因子虽然测量概率不依赖于相位但测量后的状态仍然保留了一个相位因子在实际中通常被忽略或通过重新定义基态消除。2.7 练习与思考练习 2.1验证对于 |ψ⟩ (|0⟩ i|1⟩)/√2计算 ⟨ψ|ψ⟩。解答⟨ψ| (⟨0| - i⟨1|)/√2 ⟨ψ|ψ⟩ 1/2 (⟨0|0⟩ i⟨0|1⟩ - i⟨1|0⟩ (-i)(i)⟨1|1⟩) 1/2 (1 0 - 0 1) 1练习 2.2证明如果 |ψ⟩ 是归一化的那么 e^{iθ}|ψ⟩ 也是归一化的。解答⟨ψ|e^{-iθ} e^{iθ}|ψ⟩ ⟨ψ|ψ⟩ 1练习 2.3使用完备性关系将 |ψ⟩ α|0⟩ β|1⟩ 在基 {|⟩, |-⟩} 下展开。解答完备性关系|⟩⟨| |-⟩⟨-| I|ψ⟩ (|⟩⟨| |-⟩⟨-|)|ψ⟩ ⟨|ψ⟩|⟩ ⟨-|ψ⟩|-⟩ ((αβ)/√2)|⟩ ((α-β)/√2)|-⟩练习 2.4判断⟨0|(|1⟩⟨0|)|1⟩ 的计算结果是什么解答⟨0|(|1⟩⟨0|)|1⟩ (⟨0|1⟩)(⟨0|1⟩) 0 × 0 0注意运算顺序先算 |1⟩⟨0| 这个外积但在这里我们利用了结合律⟨0|1⟩ 先算结果是一个数再乘以 ⟨0|1⟩。2.8 本章小结概念数学表述物理意义Hilbert 空间ℋ量子态存在的空间内积⟨ϕ|ψ⟩概率振幅范数√⟨ψ|ψ⟩归一化条件正交归一基{|e_i⟩}测量基底完备性关系Σ|e_i⟩⟨e_i| I基展开工具Born 规则P(a) |⟨a|ψ⟩|²测量概率第二部分单量子比特系统第3章 单 Qubit 的完整描述3.1 教学目标掌握单 qubit 态的参数化表示理解 Bloch 球面与量子态的几何对应熟练进行不同基底之间的转换3.2 单 Qubit 的一般形式一个单 qubit 纯态是二维复 Hilbert 空间中的单位向量。最一般的参数化形式为|ψ⟩ cos(θ/2)|0⟩ e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩其中θ ∈ [0, π]极角决定 |0⟩ 和 |1⟩ 的概率分布φ ∈ [0, 2π)方位角决定相对相位推导任意复数可以写成模长乘以相位α |α|e^{iφ_α}, β |β|e^{iφ_β}归一化条件要求 |α|² |β|² 1故可设|α| cos(θ/2), |β| sin(θ/2)提取全局相位 e^{iφ_α} 后态变为|ψ⟩ cos(θ/2)|0⟩ e^{i(φ_β-φ_α)} sin(θ/2)|1⟩定义 φ φ_β - φ_α 即可得到标准形式。概率分布P(0) cos²(θ/2)P(1) sin²(θ/2)特殊情况θ 0|ψ⟩ |0⟩θ π|ψ⟩ |1⟩θ π/2, φ 0|ψ⟩ (|0⟩|1⟩)/√2 |⟩θ π/2, φ π|ψ⟩ (|0⟩-|1⟩)/√2 |-⟩θ π/2, φ π/2|ψ⟩ (|0⟩i|1⟩)/√2 |i⟩θ π/2, φ 3π/2|ψ⟩ (|0⟩-i|1⟩)/√2 |-i⟩3.3 Bloch 球面表示Bloch 球面是单 qubit 态的完美几何表示。构造对于态 |ψ⟩ cos(θ/2)|0⟩ e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩定义 Bloch 向量r (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)这是一个单位球面上的点。基态的 Bloch 坐标|0⟩ → (0,0,1)北极|1⟩ → (0,0,-1)南极|⟩ → (1,0,0)X 轴正向|-⟩ → (-1,0,0)X 轴负向|i⟩ → (0,1,0)Y 轴正向|-i⟩ → (0,-1,0)Y 轴负向Pauli 矩阵与 Bloch 向量的关系任意单 qubit 态的密度矩阵可以写成ρ |ψ⟩⟨ψ| (I r·σ)/2其中 σ (X, Y, Z) 是 Pauli 矩阵向量。几何意义Z 轴计算基 {|0⟩, |1⟩}X 轴Hadamard 基 {|⟩, |-⟩}Y 轴Y 基 {|i⟩, |-i⟩}正交基在球面上是对径点幺正演化对应球面的旋转3.4 相对相位与全局相位的几何区别全局相位变换|ψ⟩ → e^{iγ}|ψ⟩在 Bloch 球面上全局相位不改变点的位置。这对应于密度矩阵的不变性e{iγ}|ψ⟩⟨ψ|e{-iγ} |ψ⟩⟨ψ|。相对相位变换α|0⟩ β|1⟩ → α|0⟩ e^{iφ}β|1⟩这会改变 Bloch 点的方位角 φ从而改变点在球面上的位置除非点在 Z 轴上。关键例子态 |⟩ (|0⟩|1⟩)/√2 和 |-⟩ (|0⟩-|1⟩)/√2 在 Bloch 球面上分别位于 X 轴正向和负向相差 180°。尽管它们在计算基下的测量概率完全相同都是 50% |0⟩, 50% |1⟩但它们是不同的态可以通过 Hadamard 门转换后区分。3.5 基变换不同表示之间的转换量子信息中经常需要在不同基底之间切换。让我们系统学习基变换的方法。从计算基到 Hadamard 基|⟩ H|0⟩ (|0⟩|1⟩)/√2 |-⟩ H|1⟩ (|0⟩-|1⟩)/√2逆变换|0⟩ H|⟩ (|⟩|-⟩)/√2 |1⟩ H|-⟩ (|⟩-|-⟩)/√2任意态在 Hadamard 基下的展开给定 |ψ⟩ α|0⟩ β|1⟩求其在 {|⟩, |-⟩} 基下的系数|ψ⟩ γ|⟩ δ|-⟩方法利用内积γ ⟨|ψ⟩ (⟨0|⟨1|)/√2 (α|0⟩β|1⟩) (αβ)/√2 δ ⟨-|ψ⟩ (⟨0|-⟨1|)/√2 (α|0⟩β|1⟩) (α-β)/√2验证归一化|γ|² |δ|² |αβ|²/2 |α-β|²/2 (|α|² α*β αβ* |β|² |α|² - α*β - αβ* |β|²)/2 |α|² |β|² 1一般基变换公式设 {|a₀⟩, |a₁⟩} 和 {|b₀⟩, |b₁⟩} 是两组正交归一基变换矩阵 U 的元素为U_{ij} ⟨b_i|a_j⟩则基向量变换为|b_i⟩ Σ_j U_{ij} |a_j⟩态的系数变换为⟨b_i|ψ⟩ Σ_j U_{ij} ⟨a_j|ψ⟩3.6 单 Qubit 测量的深入理解投影测量的一般理论对于任意可观测量 M其谱分解为M Σ_m m P_m其中 m 是本征值P_m 是到本征空间的投影算符。对于单 qubit任何可观测量都可以写成 Pauli 矩阵的线性组合M a I b X c Y d Z常见测量的投影算符计算基测量Z 测量P₀ |0⟩⟨0| (1 0) (0 0) P₁ |1⟩⟨1| (0 0) (0 1)Hadamard 基测量X 测量P_ |⟩⟨| 1/2 (1 1) (1 1) P_- |-⟩⟨-| 1/2 (1 -1) (-1 1)Y 基测量P_{i} |i⟩⟨i| 1/2 (1 -i) (i 1) P_{-i} |-i⟩⟨-i| 1/2 (1 i) (-i 1)测量的不确定性对于态 |ψ⟩ α|0⟩ β|1⟩在 Z 基下测量结果完全不确定如果 |α| |β| 1/√2但在 X 基下测量同一个态如果 φ0则必定得到 这说明“确定”与“不确定”依赖于测量基底的选择3.7 练习与思考练习 3.1将态 |ψ⟩ (√3/2)|0⟩ (1/2)|1⟩ 写成标准 Bloch 参数形式并找出其 Bloch 坐标。解答cos(θ/2) √3/2 → θ/2 π/6 → θ π/3sin(θ/2) 1/2 一致e^{iφ} 1 → φ 0Bloch 坐标r (sin(π/3)cos0, sin(π/3)sin0, cos(π/3)) (√3/2, 0, 1/2)练习 3.2证明在 Bloch 球面上正交态对应于对径点。解答设 |ψ⟩ 对应 (θ, φ)其正交态 |ψ_⊥⟩ 满足 ⟨ψ_⊥|ψ⟩ 0。由内积公式⟨ψ_⊥|ψ⟩ cos(θ_⊥/2)cos(θ/2) e^{i(φ-φ_⊥)}sin(θ_⊥/2)sin(θ/2) 0解得θ_⊥ π - θ, φ_⊥ φ π这正好是对径点的坐标。练习 3.3计算 |ψ⟩ (|0⟩ i|1⟩)/√2 在 X 基测量下得到 的概率。解答P() |⟨|ψ⟩|²⟨|ψ⟩ (1/√2)(1,1) · (1/√2)(1, i)^T (1i)/2|⟨|ψ⟩|² |1i|²/4 2/4 1/2练习 3.4求一个单 qubit 门 U使得 U|⟩ |0⟩ 且 U|-⟩ |1⟩。解答这正是 Hadamard 门本身因为 H|⟩ |0⟩, H|-⟩ |1⟩。验证H (1/√2)[1 1; 1 -1] 作用于 |⟩ [1;1]/√2 得 [1;0] |0⟩。3.8 本章小结表示形式表达式参数一般形式cos(θ/2)|0⟩e^{iφ}sin(θ/2)|1⟩θ∈[0,π], φ∈[0,2π)Bloch 向量(sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ)单位球面密度矩阵(I r·σ)/2|r|1计算基α|0⟩β|1⟩|α|²|β|²1Hadamard 基γ|⟩δ|-⟩|γ|²|δ|²1第4章 单 Qubit 量子门4.1 教学目标掌握 Pauli 门、Hadamard 门、相位门的矩阵表示与 Dirac 表示理解量子门作为 Bloch 球面上的旋转学会计算量子门对任意态的作用4.2 量子门的数学定义量子门在数学上是幺正算符Unitary Operator。一个算符 U 是幺正的当且仅当U† U U U† I其中 U† 是 U 的共轭转置。幺正性的重要推论保内积⟨Uϕ|Uψ⟩ ⟨ϕ|U†U|ψ⟩ ⟨ϕ|ψ⟩保范数‖Uψ‖ ‖ψ‖可逆性U^{-1} U†本征值的模为 1U|λ⟩ λ|λ⟩ ⇒ |λ| 1在 Dirac Notation 中门的作用记为|ψ⟩ U|ψ⟩线性性的关键作用由于 U 是线性算符对叠加态的作用可以“分配”U(α|0⟩ β|1⟩) α U|0⟩ β U|1⟩这意味着我们只需要知道 U 对基态的作用就能推导出它对任意态的作用。4.3 Pauli 门详解Pauli 门是单 qubit 门的基石对应 Bloch 球面上绕坐标轴的旋转。4.3.1 Pauli-X 门NOT 门矩阵表示X (0 1) (1 0)Dirac 表示X |0⟩⟨1| |1⟩⟨0|作用效果X|0⟩ |1⟩ X|1⟩ |0⟩ X(α|0⟩β|1⟩) β|0⟩α|1⟩Bloch 球面解释绕 X 轴旋转 π 角度180°。外积形式的推导我们想构造一个算符把 |1⟩ 送到 |0⟩|0⟩ 送到 |1⟩。一个“从 |1⟩ 到 |0⟩”的算符可以写成 |0⟩⟨1|因为它作用于 |1⟩ 得 |0⟩⟨1|1⟩ |0⟩作用于 |0⟩ 得 |0⟩⟨1|0⟩ 0。同理反向的算符是 |1⟩⟨0|。两者相加即得 X |0⟩⟨1| |1⟩⟨0|。重要性质X² IX 是 Hermitian 的X† XX 是幺正的X† X X² I本征值1对应 |⟩-1对应 |-⟩4.3.2 Pauli-Y 门矩阵表示Y (0 -i) (i 0)Dirac 表示Y -i|0⟩⟨1| i|1⟩⟨0|作用效果Y|0⟩ i|1⟩ Y|1⟩ -i|0⟩ Y(α|0⟩β|1⟩) -iβ|0⟩ iα|1⟩Bloch 球面解释绕 Y 轴旋转 π 角度。为什么有 iY 门引入了复数相位这是实现某些量子算法如 Grover 算法的关键。复数相位使得 Y 门能够产生 X 门和 Z 门无法单独实现的干涉效应。重要性质Y² IY 是 Hermitian 的Y† YY 是幺正的Y† Y I本征值1对应 |i⟩-1对应 |-i⟩关系Y iXZ4.3.3 Pauli-Z 门相位翻转门矩阵表示Z (1 0) (0 -1)Dirac 表示Z |0⟩⟨0| - |1⟩⟨1|作用效果Z|0⟩ |0⟩ Z|1⟩ -|1⟩ Z(α|0⟩β|1⟩) α|0⟩ - β|1⟩Bloch 球面解释绕 Z 轴旋转 π 角度。物理意义Z 门只改变 |1⟩ 分量的符号相位翻 π不改变测量概率。但这种相位变化会在后续干涉中显现。外积形式的推导我们想保持 |0⟩ 不变但给 |1⟩ 加上负号。投影算符 |0⟩⟨0| 作用在 |0⟩ 得 |0⟩作用在 |1⟩ 得 0。投影算符 |1⟩⟨1| 作用在 |1⟩ 得 |1⟩作用在 |0⟩ 得 0。如果我们想要 Z|0⟩ |0⟩, Z|1⟩ -|1⟩那么 Z |0⟩⟨0| - |1⟩⟨1| 正好满足要求。重要性质Z² IZ 是 Hermitian 的Z 是幺正的本征值1对应 |0⟩-1对应 |1⟩4.4 Hadamard 门深度剖析Hadamard 门是量子计算中最重要的单 qubit 门它是产生叠加态的关键。矩阵表示H 1/√2 (1 1) (1 -1)Dirac 表示H 1/√2 (|0⟩⟨0| |0⟩⟨1| |1⟩⟨0| - |1⟩⟨1|)作用效果H|0⟩ (|0⟩|1⟩)/√2 |⟩ H|1⟩ (|0⟩-|1⟩)/√2 |-⟩ H|⟩ |0⟩ H|-⟩ |1⟩Bloch 球面解释Hadamard 门对应于绕 XZ 轴即 (1,0,1)/√2 方向旋转 π。几何上它将 Z 轴转到 X 轴X 轴转到 Z 轴Y 轴转到 -Y 轴。Hadamard 门的“神奇”之处产生均匀叠加将确定的计算基态变成等概率叠加态自我可逆H² I所以施加两次等于什么都没做基变换在计算基和 Hadamard 基之间转换干涉显现将相对相位转化为可观测的概率差异对任意态的作用推导设 |ψ⟩ α|0⟩ β|1⟩H|ψ⟩ α H|0⟩ β H|1⟩ α(|0⟩|1⟩)/√2 β(|0⟩-|1⟩)/√2 (αβ)/√2 |0⟩ (α-β)/√2 |1⟩实例若 |ψ⟩ (|0⟩i|1⟩)/√2则H|ψ⟩ (1i)/2 |0⟩ (1-i)/2 |1⟩测量概率P(0) |1i|²/4 2/4 1/2 P(1) |1-i|²/4 2/4 1/2虽然原始态在计算基下也是等概率但经过 H 门后相位信息转化为了不同的概率幅组合。4.5 相位门家族相位门不改变基态的概率分布只引入相对相位。4.5.1 S 门Phase Gate, P 门矩阵表示S (1 0) (0 i)Dirac 表示S |0⟩⟨0| i|1⟩⟨1|作用效果S|0⟩ |0⟩ S|1⟩ i|1⟩ S(α|0⟩β|1⟩) α|0⟩ iβ|1⟩Bloch 球面解释绕 Z 轴旋转 π/290°。性质S² ZS⁴ IS† S³因为 S 是幺正的S† S^{-1} S³4.5.2 T 门π/8 Gate矩阵表示T (1 0) (0 e^{iπ/4})Dirac 表示T |0⟩⟨0| e^{iπ/4}|1⟩⟨1|作用效果T|0⟩ |0⟩ T|1⟩ e^{iπ/4}|1⟩名称由来为什么叫 π/8 门因为 e^{iπ/4} 可以写成关于 π/8 的形式T e^{iπ/8} (e^{-iπ/8} 0) (0 e^{iπ/8})除去全局相位 e^{iπ/8}这相当于绕 Z 轴旋转 π/4。在通用量子计算中的重要性T 门与 H 门、CNOT 门一起构成通用门集合。任何幺正变换都可以用这些门以任意精度逼近。4.5.3 一般相位门 R_z(θ)定义R_z(θ) e^{-iθZ/2} (e^{-iθ/2} 0) (0 e^{iθ/2})除去全局相位 e^{-iθ/2}等价于(1 0) (0 e^{iθ})作用给 |1⟩ 分量添加相位 e^{iθ}|0⟩ 分量不变。特例θ πR_z(π) Z忽略全局相位θ π/2R_z(π/2) Sθ π/4R_z(π/4) T4.6 旋转算符与任意单 Qubit 门的实现旋转算符的一般形式绕轴 n (n_x, n_y, n_z) 旋转角度 θ 的算符为R_n(θ) exp(-i θ n·σ/2) cos(θ/2) I - i sin(θ/2) (n_x X n_y Y n_z Z)三个基本旋转R_x(θ) (cos(θ/2) -i sin(θ/2)) (-i sin(θ/2) cos(θ/2)) R_y(θ) (cos(θ/2) -sin(θ/2)) (sin(θ/2) cos(θ/2)) R_z(θ) (e^{-iθ/2} 0) (0 e^{iθ/2})任意单 qubit 门的分解任何单 qubit 幺正门 U 都可以分解为U e^{iα} R_z(β) R_y(γ) R_z(δ)这是 Z-Y-Z 分解。还有其他等价分解如 X-Y-Z 等。4.7 量子门的组合与电路恒等式多个门依次作用时数学上是从右向左乘U_3 U_2 U_1 |ψ⟩表示先施加 U_1再 U_2最后 U_3。常见恒等式H X H ZH Y H -YH Z H XX Y X -Y反对易关系X Z X -ZS T S† T†实际上 S T S† T† 不成立但 S T S† 是某个旋转推导 H X H ZH X H H (|0⟩⟨1||1⟩⟨0|) H H|0⟩⟨1|H H|1⟩⟨0|H |⟩⟨-| |-⟩⟨| 1/2(|0⟩|1⟩)(⟨0|-⟨1|) 1/2(|0⟩-|1⟩)(⟨0|⟨1|) 1/2(|0⟩⟨0| - |0⟩⟨1| |1⟩⟨0| - |1⟩⟨1| |0⟩⟨0| |0⟩⟨1| - |1⟩⟨0| - |1⟩⟨1|) |0⟩⟨0| - |1⟩⟨1| Z电路化简技巧这些恒等式允许我们在不改变整体幺正变换的前提下移动或消除某些门从而优化量子电路。4.8 练习与思考练习 4.1计算 X Z X |ψ⟩其中 |ψ⟩ α|0⟩ β|1⟩。解答X Z X |ψ⟩ X Z (β|0⟩ α|1⟩) X (β|0⟩ - α|1⟩) -α|1⟩ β|0⟩ β|0⟩ - α|1⟩注意到 X Z X -Z所以结果应该是 -α|0⟩ β|1⟩等等我们仔细算X(β|0⟩ - α|1⟩) β X|0⟩ - α X|1⟩ β|1⟩ - α|0⟩ -α|0⟩ β|1⟩。而 -Z|ψ⟩ -α|0⟩ β|1⟩。一致全局相位 -1 可忽略所以 XZX 相当于 Z。练习 4.2证明 H S H 不是一个 Pauli 门并找出它的矩阵表示。解答H S H 1/2 (1 1) (1 0) (1 1) (1 -1) (0 i) (1 -1) 1/2 (1 1) (1 1) (1 -1) (i -i) 1/2 (1i 1-i) (1-i 1i)这相当于 (XY)/√2检查1/√2 (XY) 1/√2 [(0 1;1 0) (0 -i;i 0)] 1/√2 (0 1-i;1i 0)不是这个。实际上 HSH (I iX)/√2我们来对一下。练习 4.3求一个门序列将 |0⟩ 转换为 (|0⟩ i|1⟩)/√2。解答目标态是 |i⟩。从 |0⟩ 出发需要先绕 Y 轴旋转 -π/2或者H 门产生 |⟩然后 S 门产生 (|0⟩i|1⟩)/√2检查H|0⟩ |⟩S|⟩ S(|0⟩|1⟩)/√2 (|0⟩i|1⟩)/√2正确所以序列是 H 然后 S。练习 4.4解释为什么 X 门和 Z 门对易提示计算 XZ 和 ZX解答实际上 X 和 Z 是反对易的X Z (0 1;1 0)(1 0;0 -1) (0 -1;1 0)Z X (1 0;0 -1)(0 1;1 0) (0 1;-1 0)所以 XZ -ZX。它们反对易。这说明 X 和 Z 不能同时对易不能同时对角化——这正是它们对应的可观测量互补不确定性原理的体现。4.9 本章小结门矩阵Dirac 形式Bloch 旋转X[0 1;1 0]|0⟩⟨1||1⟩⟨0|绕 X 轴 πY[0 -i;i 0]-i|0⟩⟨1|i|1⟩⟨0|绕 Y 轴 πZ[1 0;0 -1]|0⟩⟨0|-|1⟩⟨1|绕 Z 轴 πH1/√2[1 1;1 -1]1/√2(|0⟩⟨0||0⟩⟨1||1⟩⟨0|-|1⟩⟨1|)绕 XZ 轴 πS[1 0;0 i]|0⟩⟨0|i|1⟩⟨1|绕 Z 轴 π/2T[1 0;0 e^{iπ/4}]|0⟩⟨0|e^{iπ/4}|1⟩⟨1|绕 Z 轴 π/4